חפיפת משולשים: משפט צ.צ.צגאומטריה 571 · שיעור 10
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 10: חפיפת משולשים: משפט צ.צ.צ
פרק 3 · חפיפת משולשים
1משפט חפיפה צ.צ.צ
2מחפיפה לזוויות שוות, למקבילים ולאנכים
35 תרגילים, כולל שני תרגילים מורכבים
משפט
חפיפת משולשים: צ.צ.צ
AB = DE
צלע
BC = EF
צלע
AC = DF
צלע
△ABC ≅ △DEF
צ.צ.צ
📐 משפט חפיפה צ.צ.צ: שלוש צלעות שוות ← המשולשים חופפים (ואז גם כל הזוויות המתאימות שוות)
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
תרגיל 1 · צ.צ.צ ומקבילים · בינוני
במרובע ABCD: AB = CD , AD = CB. מעבירים את האלכסון AC
הוכיחו: AB ∥ CD
הוכיחו: AB ∥ CD
AB = CD
נתון
CB = AD
נתון
AC = CA
צלע משותפת
△ABC ≅ △CDA
צ.צ.צ
∢BAC = ∢DCA
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
∢BAC ו־∢DCA זוויות מתחלפות
בין AB ל־CD, החותך AC
AB ∥ CD
זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB ∥ CD
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
תרגיל 2 · צ.צ.צ בדלתון · קל
במרובע ABCD: AB = AD , CB = CD
הוכיחו: AC חוצה את ∢BAD , ו־∢B = ∢D
הוכיחו: AC חוצה את ∢BAD , ו־∢B = ∢D
AB = AD
נתון
CB = CD
נתון
AC = AC
צלע משותפת
△ABC ≅ △ADC
צ.צ.צ
∢BAC = ∢DAC ← AC חוצה את ∢BAD
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
∢B = ∢D
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC חוצה את ∢BAD , ∢B = ∢D
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
תרגיל 3 · חפיפה ומשוואה · בינוני
נתון: AB = DE , BC = EF , AC = DF , ∢E = 50
∢A = 2x + 10 , ∢D = 3x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש ABC
∢A = 2x + 10 , ∢D = 3x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש ABC
AB = DE , BC = EF , AC = DF
נתון
△ABC ≅ △DEF
צ.צ.צ
∢A = ∢D
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
2x + 10 = 3x − 15
מציבים
10 + 15 = 3x − 2x ⟹ x = 25
מעבירים אגפים וכינוס
∢A = 2 · 25 + 10 = 60
מציבים x = 25
∢B = ∢E = 50
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
∢C = 180 − 60 − 50 = 70
סכום הזוויות במשולש
✅ פתרון סופי: x = 25 , ∢A = 60 , ∢B = 50 , ∢C = 70
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 4 · הוכחה + חישוב · מורכב
במשולש ABC: AB = AC ו־D אמצע BC. נתון ∢B = 65
הוכיחו: AD חוצה את ∢A ו־AD ⊥ BC. מצאו את ∢BAD
הוכיחו: AD חוצה את ∢A ו־AD ⊥ BC. מצאו את ∢BAD
AB = AC
נתון
BD = DC
D אמצע BC
AD = AD
צלע משותפת
△ABD ≅ △ACD
צ.צ.צ
∢BAD = ∢CAD ← AD חוצה זווית
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
∢ADB = ∢ADC , סכומן 180 ← כל אחת 90
חפיפה + זוויות צמודות
∢BAD = 180 − 90 − 65 = 25
סכום הזוויות במשולש ABD
✅ פתרון סופי: AD חוצה זווית וגובה , ∢BAD = 25
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט
סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢1 + ∢2 = 180
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 5 · מורכב: שני משולשים שווי שוקיים
ABC ו־DBC משולשים שווי שוקיים על אותו בסיס BC (AB = AC , DB = DC)
הוכיחו: AD ⊥ BC
הוכיחו: AD ⊥ BC
AB = AC
נתון
DB = DC
נתון
AD = AD
צלע משותפת
△ABD ≅ △ACD
צ.צ.צ
∢BAD = ∢CAD ← AE חוצה את ∢BAC
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
AE ⊥ BC , כלומר AD ⊥ BC
במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AD ⊥ BC
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
📌 מה למדנו היום
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
💡 כשנתונות רק צלעות (ואין זוויות) – חושבים על צ.צ.צ. צלע משותפת היא הצלע השלישית החינמית.
בשיעור הבא: משפט חפיפה צ.צ.ז
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא